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《模糊系统数学及其应用》层次分明、逻辑结构严谨、详细而不啰嗦、精炼而不失实。《模糊系统数学及其应用》的讲解不局限于模糊数学的基础知识，而是用大量的篇幅来讲解模糊数学的应用。为了使读者可以验证学习的效果、巩固所学的内容，每章后面都附有具有代表性的习题。内容简介
《模糊系统数学及其应用》系统地论述了模糊系统数学的基本知识、原理及其方法。该书的一个特色在于尽量使用简洁的语言对其概念和原理作出清晰明了的讲述，使读者能够对模糊系统数学有直观的认识，建立起模糊思维和处理模糊问题的能力；另一个特色在于将其与经济管理和工程中的实例相结合。《模糊系统数学及其应用》首先介绍了模糊系统数学的基础知识，从经典集合过渡到模糊集合，再到模糊隶属函数和模糊关系，以及模糊问题向清晰问题的转化；其次介绍了模糊聚类、模式识别、模糊扩张原理、模糊推理、模糊控制、模糊决策、模糊线性规划等原理和方法内容。
《模糊系统数学及其应用》可以作为高年级本科生教材和研究生教材，也可供读者自学参考。目录
第1章模糊集合与隶属函数1.1经典集合1.1.1经典集合概念及其表示1.1.2经典集合的运算1.1.3经典集合的性质1.1.4经典集合映射为函数1.2模糊集合1.2.1模糊集合运算1.2.2模糊集合的性质1.3隶属函数1.3.1隶属函数的特征1.3.2凸模糊集1.3.3多维隶属函数的讨论1.3.4模糊化1.3.5隶属度的赋值习题第2章模糊关系2.1笛卡儿积2.2清晰关系2.2.1清晰关系的运算2.2.2清晰关系的性质2.2.3复合2.2.4清晰等价关系2.2.5清晰相似关系2.3模糊关系2.3.1模糊关系的运算2.3.2模糊关系的性质2.3.3模糊关系的复合2.3.4模糊相似关系和等价关系2.4赋值2.4.1余弦幅度法2.4.2其他相似性方法习题第3章模糊向清晰的转换3.1模糊集的λ分割3.2模糊关系的λ分割3.3分解定理与表现定理3.3.1分解定理3.3.2集合套与表现定理3.4非模糊化方法习题第4章模糊聚类分析4.1数据集的c分类4.1.1硬c分类4.1.2硬c均值(Hardcmeans，HCM)算法4.2基于等价关系的模糊聚类分析4.2.1模糊聚类的等价关系基本思想4.2.2基于等价关系的模糊聚类分析步骤4.2.3*佳阈值λ的确定4.3基于模糊c均值的聚类算法4.3.1模糊c划分4.3.2模糊c均值(Fuzzycmeans,FCM)聚类算法4.3.3FCM聚类算法存在的问题习题第5章模糊模式识别5.1模糊向量5.2贴近度5.3模糊模式识别的基本原则5.3.1*大隶属原则5.3.2择近原则5.3.3多个特性的择近原则5.4模糊模式识别的应用习题第6章扩张原理与模糊数6.1模糊变换6.2扩张原理6.3多元扩张原理6.4模糊数6.4.1区间数6.4.2模糊数习题第7章模糊逻辑和模糊推理7.1经典逻辑7.1.1集合与命题7.1.2逻辑联结词7.2模糊语言与语言变量7.2.1集合描述语言系统7.2.2模糊语言算子7.2.3语言值及其四则运算7.2.4模糊语言变量7.3模糊逻辑7.3.1模糊命题7.3.2模糊联结词7.4模糊推理7.5蕴涵运算的其他形式7.6复合运算的其他形式7.7基于规则的系统及其推理的图解方法7.7.1规则的形式7.7.2规则的分解和聚合7.7.3基于规则的推理图解法习题第8章模糊控制系统8.1模糊控制的基本思想8.2模糊控制系统的组成8.3模糊控制器8.3.1模糊控制器的基本结构8.3.2模糊控制器各主要组成部分的功能8.3.3模糊控制器的基本类型8.4模糊控制器的设计8.4.1模糊化8.4.2数据库8.4.3规则库8.4.4模糊推理8.4.5去模糊化8.4.6建立查询表8.5模糊控制器实例8.5.1被控对象的特点和控制任务8.5.2模糊控制器设计习题第9章模糊综合评判、多目标决策、模糊预测9.1模糊综合评判9.1.1模糊综合评判法的思想和原理9.1.2模糊综合评判的模型和步骤9.2多目标决策9.3模糊预测9.3.1模糊时间序列预测9.3.2模糊回归预测习题第10章模糊线性规划10.1经典线性规划简介10.1.1线性规划10.1.2多目标规划10.2模糊约束条件下的极值问题10.3模糊线性规划10.4多目标模糊线性规划10.4.1多目标线性规划的模糊*优解10.4.2约束条件有伸缩性的多目标模糊线性规划问题习题参考文献精彩书摘
第1章 模糊集合与隶属函数 1.1经典集合 1.1.1经典集合概念及其表示 论域在讨论时，把议题局限于一定的范围，这一讨论范围，即被讨论的全体事物，就称为论域，常用大写字母U、V等表示。论域可简称域，根据其性质可分为离散域和连续域。 集合给定一个论域，其中，具有某种属性的事物的全体，称为论域上的一个集合，常用大写字母A、B、X、Y等表示。论域本身也是集合，称为全集。 元素集合中的每一事物，称为这个集合的元素，常用小写字母a、b、x、y等表示。 属于元素是个体的概念，集合是整体的概念，它们之间具有属于和不属于的关系，如a属于A，记作a∈A；a不属于A，记作aA。 集合及其定义域的一种有用属性称为基数性或基数的度量。集合X中的元素总数称为基数，记作nX。由可数且有限的元素所构成的集合具有有限基数；由无限个元素所构成的集合具有无限的基数。由集合内部分元素构成的集合，称为子集。集合和子集常当作同义词用，因此任何一个集合也可以说是全集X的一个子集。 论域X上的集合A和B有下列概念： AB表示集合A完全包含于集合B，即如果x∈A，则x∈B，且至少存在一个元素y∈B且yA。 AB表示集合A包含于集合B，即如果x∈A，则x∈B。 A=B表示集合A等价于集合B，即AB且BA。 把不包含任何元素的集合定义为空集，记作。空集是任何集合的子集，即对任意集合A，有A。空集对应于不可能发生的事件，全集对应于必然发生的事件。X的所有可能子集所构成的一个特殊集合称为幂集，记作P(X)。 例1.1现有一个由三元素组成的论域X={a，b，c}，其基数nX=3，其幂集为 P（X）={{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}} 幂集的基数记作np(x)np（X），为np（x）=2nx=23=8np（X）=2nX=23=8。 注意：如果论域的基数是无限的，则幂集的基数也是无限的，即 nX=∞，则np（X）=∞。 1.1.2经典集合的运算 令A和B为论域X上的两个集合。两集合的并集记作A∪B，表示域X中属于集合A或属于集合B的所有元素所构成的集合。两个集合的交集记作A∩B，表示论域中既属于集合A,同时又属于集合B的所有元素所构成的集合。集合A的补集记作，定义为论域内不在集合A中的所有元素构成的集合。集合A与集合B的差集记作A|B，定义为论域内在集合A中但同时又不在集合B中的所有元素构成的集合。下面用集合论来表示上述运算。 并集：A∪B={x|x∈A或x∈B}(1.1) 交集：A∩B={x|x∈A和x∈B}(1.2) 补集：={x|xA,x∈X}(1.3) 差集：A|B={x|x∈A且xB}(1.4) 1.1.3经典集合的性质 从经典集合的定义出发，我们不难得到以下的一些重要性质。 交换律：A∪B=B∪A(1.5) A∩B=B∩A 结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C(1.6) A∩(B∩C)=(A∩B)∩C 分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)(1.7) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) 幂等律：A∪A=A(1.8) A∩A=A 同一律：A∪=A(1.9) A∩X=A 零律：A∩= A∪X=X(1.10) 传递性：如果ABC，那么AC， 还原律：A=A(1.11) 集合运算的两个特殊性质称为排中定律和德·摩根定律。这里将结合集合A和集合B对这两定律进行说明。排中定律实际上有两条［式(1.12)已给出］：第一，称为排中律，论述集合A和其补集的并集；第二，称为矛盾律，表示集合A和其补集的交集。 (1)排中律：A∪=X(1.12a) (2)矛盾律：A∩=(1.12b) 德·摩根定律的重要性在于它们不仅能证明逻辑中的赘述和矛盾，还能应用于大量的集合运算的证明之中。 德·摩根定律： A∩B=∪(1.13a) A∪B=∩(1.13b) 设Ei(i=1,2,…,n)为同一论域上的系列集合，则德·摩根定律的通用形式为 E1∪E2∪…∪En=E1∩E2∩…∩En(1.14a) E1∩E2∩…∩En=E1∪E2∪…∪En(1.14b) 由式（1.4）可以得出一种对偶关系：并集或交集的补分别等价于相应的补集的交或并。 例1.2在管理学中团队合作非常重要，如图1.1所示，只有团队1和团队2共同都成功，才可以达到目标。如果有一个团队失败，则达不到目标。如果E1=团队1的成功，E2=团队2的成功，那么目标达到=E1∩E2。反之达不到目标=E1∩E2 逻辑上，只要一个团队失败，即当∪E1∪E2时，目标就达不到。所以E1∩E2=E1∪E2，这就是对德·摩根定律的说明。 图1.1目标达到图 图1.2物资输送图 例1.3如图1.2所示，现在有A、B两处均可以向C处输送救灾物资，1、2和3分别代表道路。1、2两条道路中的任一条都能够经由道路3向C处输送救灾物资。设E1=道路1故障，E2=道路2故障，E3=道路3故障，则不能将救援物资输送到C处事件(E1∩E2)∪E3发生，若能将救援物资输送到C处则是该事件的补。运用德·摩根律，可得成功将救援物资输送到C处的情况是 (E1∩E2)∪E3=(E1∪E2)∩E3 其中(E1∪E2)表示可以将救援物资从A或者B输送到道路3处，E3表示道路三无故障。 1.1.4经典集合映射为函数 映射是在将元素的集合论形式与函数论表示相结合的一个重要方法和概念。通过映射可以将一个论域的元素或集合映射成另一个论域内的元素或集合。设X和Y是两个不同的论域，又设论域X中的元素x与论域Y中的元素y相对应，通常称这种对应关系为论域X到论域Y的映射，或记为f：X→Y。一种特殊的映射我们称为特征函数，记为χA，其定义为 χA(x)=1,x∈A 0,xA(1.15) 这里χA(x)表示元素x在集合A中的特征值，χA(x)=1代表x属于集合A，χA(x)=0代表x不属于集合A。特征函数χA形成了论域X内元素x到论域Y={0,1}内的元素之间的一种映射，如图1.3所示。 图1.3特征函数是关于清晰集合A的一种映射 现根据特征函数定义，我们对集合的并、交、补等运算重新进行表示。设在域X上有两个集合A和B，根据特征函数有 A∪B：χA∪B(x)=χA(x)∨χB(x)=max(χA(x),χB(x))(1.16) 其中符号∨表示“取*大值”运算(在逻辑学上称为析取运算)。 A∩B：χA∩B(x)=χA(x)∧χB(x)=min(χA(x),χB(x))(1.17) 其中符号∧表示“取*小值”运算(在逻辑学上称为合取运算)。 ：χ(x)=1－χA(x)(1.18) 相同域中的两个集合A和集合B，如果集合A包含于集合B，那么在函数论术语中，包含为 AB：χA(x)≤χB(x)(1.19) 1.2模糊集合 在现实世界中，我们遇到的很多对象是模糊的、不能精确定义的。如“好”与“坏”之间我们找不到精确的界限，因此对于这一类的集合我们无法用经典集合的理论来表示，而模糊集合的出现则正好补充了经典集合的这一缺陷。 模糊集合是一个有着不同隶属度的元素的集合。这与经典或称清晰集合的概念正相反，因为清晰集合是不可能有非全隶属度的元素的(即其隶属度为1)。一个模糊集合中的元素可以是同一域内另一个模糊集合的元素，因为其隶属度可为非全隶属度取值。 用函数论的形式将模糊集合的元素映射到一个“隶属度值”域内，模糊集合在《模糊系统数学及其应用》中用集合符号下面加画波浪线表示。例如，A～表示“模糊的集合A～”，该函数将模糊集合A～的元素映射为0~1区间上的实数值。如果该域上的某个元素x是模糊集合A～的成员，那么该映射可用μA～(x)∈［0,1］表示。 图1.4为模糊集合A～的隶属函数。 图1.4模糊集合A～的隶属函数 当论域X是离散和有限时，模糊集合A～的习惯标记为 A～=μA～(x1)x1+μA～(x2)x2+…=∑iμA～(xi)xi(1.20) 当论域X是连续和无限时，模糊集合A~记作 A～=∫μA～(x)x(1.21) 在上述两个标记中，水平线或斜杠(为标记方便，下面常用斜杠表示)不表示商而是定义符。每个表达式的分子是集合A～的隶属度值，集合A～与用每个表达式名称所表示的域内元素有关。第一种标记中，求和的符号不表示代数和，而是各个元素的汇集或聚集；所以上式中的“+”号不是代数和中的“加号”，而是函数论中的并。在第二种标记中，积分符号不表示代数积，而是对连续变量求连续函数论中的并。 1.2.1模糊集合运算 在论域X上定义三个模糊集合A～，B～，C～，对域内给定元素x，在X域上的模糊集合A～、B～、C～在集合论中的并、交、补运算的函数论运算定义如下： 并集：μA～∪B~(x)=max(μA～(x),μB~(x))(1.22) 交集：μA～∩B~(x)=min(μA～(x),μB~(x))(1.23) 补集：μ～(x)=1－μA～(x)(1.24) 模糊集合进行上述运算的扩展了的文氏图如图1.5~图1.7所示。 图1.5模糊集合A～和B～的并集 图1.6模糊集合A～和B～的交集 图1.7模糊集合A～的补集 域X上的模糊集合A～是该域上的一个子集。如同对经典集合的定义一样，空集中任意元素x的隶属度值为0，全集X中元素的隶属度值为1。注意在《模糊系统数学及其应用》中所提的空集和全集为非模糊集合(不带下画波纹线)。下面是这些概念的相应表示： A～XμA～(x)≤μX(x)(1.25a) μ(x)=0,对所有x∈X(1.25b) μX(x)=1,对所有x∈X(1.25c) 域X上所有模糊集合和模糊子集的集合记作模糊幂集P～(X)。很显然，所有模糊集合都可重叠，模糊幂集的基数nP～(X)是无限的；即nP～(X)=∞。 经典集合的德·摩根定律也适用于模糊集合，可由下列表达式表示： A～∩B～=～∪～(1.26a) A～∪B～=～∩～(1.26b) ……前言/序言
前言 自从罗特夫·扎德(LotfiZadeh)博士于1965年在《信息与控制》杂志上发表了一篇开创性论文《模糊集合》以后，经典数学的一些观念受到颠覆，引导人们更多地试图通过这一新的数学思想来描述我们的认识、判断和推理，由此形成了新的数学分支——模糊数学。模糊数学和经典数学的不同之处在于模糊数学处理的都是边界含糊不清的或者说模糊的概念、对象，这实质上是针对有别于随机性的不确定性问题，这种不确定性问题大量地存在于我们自己的主观感受中，这是无法精确衡量的。可以说，模糊数学为定量化地描述我们的认识、判断、推理及其外在形式——自然语言提供了一种强大的工具。因此，学习好模糊数学，能够为管理决策建模和计算机人工智能等领域的研究提供一种新的数学工具。事实上，目前，模糊数学和模糊推理的方法已经在工业系统控制、智能家电、智能交通、模糊决策等领域有了广泛而成功的应用。更为可喜的是，它还在刚刚兴起的文本挖掘、自然语言理解等商务智能和语义网智能等领域受到青睐。可以预见，模糊数学将在管理和计算机智能等具有模糊性系统领域发挥更大的潜力和作用。正是基于这样的认识，在系统总结模糊系统数学新的方法与应用基础上，结合编者在模糊系统数学方面十余年的教学体会，编写了这本教材。 《模糊系统数学及其应用》共分为10章，第1章介绍了模糊数学的基本概念及其性质，重点阐述了模糊集合的性质、模糊集合的运算及模糊集合隶属函数的确定；第2章介绍了模糊关系的性质与运算；第3章介绍了分割的概念，讲解了模糊向清晰转换的重要概念及方法，给出了模糊向清晰转换在工程管理方面的应用举例；第4章介绍了模糊聚类的一些方法及模糊聚类的应用；第5章介绍了模糊模式识别的概念、性质、方法、应用；第6章介绍了模糊扩张原理和模糊数相关内容，介绍了扩张原理中的有关重要定理；第7章介绍了模糊逻辑和模糊推理的基本理论，及其在语言处理方面的应用；第8章介绍了模糊控制系统的组成、应用，通过实例详细介绍了模糊控制系统的构建过程；第9章介绍了模糊综合评判、多目标决策、模糊预测的主要内容，重点介绍了这些方法在经济管理中的应用；第10章介绍了模糊线性规划的性质、应用等内容。 为了让读者能对模糊数学的应用有更深的了解，编者在《模糊系统数学及其应用》中列举了大量的应用示例，对于示例的选取，编者尽量偏重管理学方面较为成熟的示例。每一章后面的习题，有利于读者自己检验学习的效果。《模糊系统数学及其应用》可以作为本科生高年级和研究生的教材使用。 在《模糊系统数学及其应用》的编写过程中，编者的研究生张向阳、孙娜、崔雪莲、韩琪玮、戚方丽、洪月、宋爽、于明朕、李静、彭振、韩金波、张铭今、杨凡、睢国钦、刘晓君做了大量的资料收集、校对工作，编者在此一并表示衷心的感谢。 对于《模糊系统数学及其应用》的编写，编者参考了多个国内外有关模糊数学方面的教材和专著(详见参考文献)，以期博取众家之长，在此表示衷心感谢。尽管编者力求严谨和规范，但限于编者的水平和时间，书中难免存在一些错误和纰漏，敬请各位专家、读者批评指正。 编者 2016年7月
