《有限元原理与程序可视化设计》
书海网短评：
本书共三篇，分别为有限元原理、有限元建模、有限元可视化程序设计。有限元原理部分重点介绍具有限元课程特点的基本内容及程序设计思想，主要包括弹性问题、弹塑性问题、结构动力问题的有限元法；从实用角度介绍有限元建模方法、有限元可视化程序设
内容简介
《有限元原理与程序可视化设计》共三篇，分别为有限元原理、有限元建模、有限元可视化程序设计。有限元原理部分重点介绍具有限元课程特点的基本内容及程序设计思想，主要包括弹性问题、弹塑性问题、结构动力问题的有限元法；从实用角度介绍有限元建模方法、有限元可视化程序设计。做到理论体系完整，理论与应用并重。《有限元原理与程序可视化设计》采用模块式结构，三篇内容相对独立，可根据需要选学。作者简介
梁清香，教授，硕士生导师。1987年本科毕业于太原理工大学应用力学专业，1995年硕士研究生毕业于西安交通大学振动冲击噪声专业。主编《有限元与MARC实现》（2003年2月，机械工业出版社）、《有限元与MARC实现》第2版（2005年4月，机械工业出版社），《理论力学》副主编（2000年8月，机械工业出版社）。主持科研项目5项，主持省级重点教研项目1项，获山西省教学成果一等奖1项，发表学术论文40余篇。目录
第1篇有限元原理第1章有限元法概述
1.1有限元法的发展概况
1.2有限元法的主要优点
1.3有限元法在工程中的应用
1.4通用有限元软件简介
1.4.1通用有限元软件的共同之处
1.4.2几个通用有限元软件简介
1.5有限元法基本知识
1.5.1有限元法基本思想
1.5.2有限元法分类
1.5.3有限元法分析工程实际问题的一般过程
1.5.4单元位移函数的选取与收敛性分析
1.6预备知识
1.6.1弹性力学基本方程的矩阵表示
1.6.2变形体虚位移原理
习题
第2章平面问题的有限元法
2.1弹性力学平面问题
2.1.1平面应力问题
2.1.2平面应变问题
2.2三角形单元位移函数和形函数
2.2.1单元位移函数
2.2.2位移函数的收敛性
2.2.3形函数的性质
2.2.4位移函数和形函数的几何意义
2.3单元等效节点载荷向量
2.3.1集中载荷的等效节点载荷
2.3.2分布体力的等效节点载荷
2.3.3分布面力的等效节点载荷
2.4应变矩阵、应力矩阵和单元刚度矩阵
2.4.1应变矩阵
2.4.2应力矩阵
2.4.3单元刚度矩阵
2.4.4计算单元刚度矩阵的程序设计
2.5整体平衡方程与整体刚度矩阵
2.5.1由节点平衡建立整体平衡方程
2.5.2整体刚度矩阵的集成
2.5.3整体刚度矩阵的特点
2.5.4整体刚度矩阵的存储
2.5.5形成整体刚度矩阵的程序设计
2.6整体节点载荷向量
2.6.1整体节点载荷向量的集成
2.6.2注意事项
2.6.3形成单元节点载荷向量和整体节点载荷向量的程序设计
2.7约束条件的引入
2.7.1引入约束条件的过程
2.7.2几点说明
2.7.3引入约束条件的程序设计
2.8求解
2.9应力计算及结果整理
2.10较精密的平面单元
2.10.1矩形单元
2.10.2六节点三角形单元
2.11等参元
2.11.1母单元与子单元
2.11.2标准化坐标系下矩形单元族的形函数
2.11.3等参变换的唯一性及等参元位移函数的收敛性
2.11.4等参元的单元刚度矩阵与单元等效节点载荷向量
2.11.5数值积分
习题
第3章空间问题的有限元法
3.1空间问题的离散化
3.2四面体单元
3.2.1位移函数
3.2.2应变矩阵、应力矩阵
3.2.3单元刚度矩阵
3.2.4体积坐标
3.2.5单元等效节点载荷向量
3.2.6高阶四面体单元
3.3六面体单元
3.3.1八节点六面体单元
3.3.2二十节点六面体单元
3.3.3单元刚度矩阵
3.3.4单元等效节点载荷
3.4五面体单元
3.5实体单元比较与选择
习题
第4章空间轴对称问题的有限元法
4.1空间轴对称问题概述
4.1.1空间轴对称问题的几何方程与物理方程
4.1.2空间轴对称问题的离散化
4.2单元位移函数
4.3应变矩阵、应力矩阵和单元刚度矩阵
4.3.1应变矩阵
4.3.2应力矩阵
4.3.3单元刚度矩阵
4.4单元等效节点载荷
习题
第5章杆系结构的有限元法
5.1杆系结构有限元法概述
5.2一维等直杆单元
5.2.1拉压杆单元
5.2.2扭转杆单元
5.3桁架结构的有限元法
5.3.1桁架结构概述
5.3.2桁架结构的有限元分析
5.4梁单元
5.4.1梁的基本公式
5.4.2平面弯曲梁单元
5.4.3平面自由式梁单元
5.4.4考虑剪切变形的梁单元
5.4.5空间梁单元
5.5刚架结构的有限元法
5.5.1刚架结构概述
5.5.2刚架结构的有限元分析
习题
第6章板壳问题的有限元法
6.1板壳弯曲问题有限元法概述
6.2板理论基础
6.2.1弹性力学薄板理论
6.2.2板的横向剪切变形理论
6.3薄板弯曲问题的有限元法
6.3.1离散化
6.3.2矩形薄板单元
6.3.3三角形薄板单元
6.3.4小片试验
6.3.5离散的基尔霍夫理论薄板单元
6.4厚板单元简介
6.5壳理论简介
6.6三角形平板薄壳单元
6.6.1局部坐标系中的单元刚度矩阵
6.6.2单元刚度矩阵从局部坐标系到整体坐标系的转换
6.6.3局部坐标的方向余弦
6.7轴对称壳单元
6.7.1轴对称薄壳理论
6.7.2薄壳截锥单元
习题
第7章结构动力问题的有限元法
7.1引言
7.2结构离散化与动力平衡方程
7.2.1结构离散化与动载荷
7.2.2动力平衡方程
7.3集中质量矩阵和一致质量矩阵
7.3.1几个简单单元的集中质量矩阵和一致质量矩阵
7.3.2质量矩阵的特点
7.4自由振动分析
7.4.1特征值问题
7.4.2几种求解特征值问题的方法概述
7.5动力响应分析
7.5.1阻尼模型
7.5.2振型叠加法
7.5.3直接积分法
习题
第8章弹塑性问题的有限元法
8.1弹塑性有限元法概述
8.2弹塑性理论基础
8.2.1材料的塑性性质
8.2.2Mises屈服准则及硬化定律
8.2.3PrandtlReuss塑性流动增量理论
8.3弹塑性有限元法
8.3.1弹塑性有限元法的应力应变关系
8.3.2弹塑性有限元方程
8.3.3弹塑性有限元方程的求解
习题
第2篇有限元建模
第9章有限元模型
9.1有限元模型的重要性
9.2有限元模型的定义
9.2.1分析问题类型
9.2.2几何模型
9.2.3单元类型的选择
9.2.4网格布局及网格划分
9.2.5边界条件
9.2.6材料参数与几何特性
习题
第10章有限元建模过程
10.1有限元建模的一般过程
10.2有限元建模举例
习题
第3篇有限元程序可视化设计
第11章面向对象的程序设计概述
11.1面向对象的基本概念
11.1.1对象的基本概念
11.1.2对象的特征
11.1.3对象的要素
11.1.4面向对象的开发方法
11.1.5面向对象的模型
11.2面向对象的分析
11.2.1对象的分析
11.2.2建立对象模型
11.2.3建立动态模型
11.2.4建立功能模型
11.2.5确定操作
11.3面向对象的设计
11.3.1面向对象设计的准则
11.3.2面向对象设计的启发规则
11.3.3系统设计
11.3.4对象设计
11.4面向对象的实现
11.4.1程序设计语言
11.4.2类的实现
11.4.3应用系统的实现
11.4.4面向对象测试
11.5面向对象和基于对象的区别
第12章平面问题可视化程序设计
12.1程序总体框架与主要功能
12.2原始数据准备及录入界面
12.3数据输入验证及纠错
12.4单元网格图及计算结果的显示
12.4.1单元网格图显示程序
12.4.2节点位移图显示程序
12.4.3单元应力图显示程序
12.5原始数据生成与保存
12.6计算部分处理框图
12.7算例
12.8程序代码
参考文献
精彩书摘
第1篇有限元原理
第1章有限元法概述
有限元法(finiteelementmethod，FEM)是工程领域中应用最广泛的一种数值计算方法。经过近60年的发展，有限元法理论臻趋完善，应用几乎遍及所有的工程技术领域。综合有限元理论、计算数学、计算机图形学和优化技术，开发出了一大批通用与专用有限元软件，它们以功能强、用户使用方便、技术结果可靠和效率高而成为新的技术产品，使用这些软件已经成功地解决了机械、建筑、材料加工、航空航天、造船、核能、声学、电磁学等工程领域的诸多难题。有限元软件已经成为推动科技进步和社会发展的生产力，并且取得了巨大的经济和社会效益。
1.1有限元法的发展概况
有限元法基本思想的提出，可以追溯到Courant在1943年的工作，他第一次尝试应用定义在三角形区域的分片连续函数和最小势能原理求解圣维南(St.Venant)扭转问题。
现代有限元法第一个成功的尝试，是将刚架位移法推广应用于弹性力学平面问题，这是Turner、Clough等人在分析飞机结构时于1956年得到的成果。他们第一次给出了用三角形单元求平面应力问题的正确解答，打开了利用计算机求解复杂问题的新局面。1960年Clough将这种方法命名为有限元法。
1963—1964年，Besseling、Melosh和Jones等人证明了有限元法是基于变分原理的里兹(Ritz)法的另一种形式，从而使里兹法分析的所有理论基础都适用于有限元法，确认了有限元法是处理连续介质问题的一种普遍方法。利用变分原理建立有限元方程和经典里兹法的主要区别是，有限元法假设的近似函数不是在全求解域上给出的，而是在单元上给出的，而且事先不要求满足任何边界条件，因此它可以用来处理很复杂的连续介质问题。
有限元法在工程中应用的巨大成功，引起了数学界的关注。20世纪60年代至70年代，数学工作者对有限元法的误差、解的收敛性和稳定性等进行了卓有成效的研究，从而巩固了有限元法的数学基础。我国数学家冯康在60年代研究变分问题的差分格式时，也独立地提出了分片插值的思想，为有限元法的创立做出了贡献。
近60年来，有限元法的应用已由平面问题扩展到空间问题、板壳问题、组合结构，由静力问题扩展到稳定问题、动力问题和波动问题。分析对象从弹性材料扩展到塑性、黏弹性、黏塑性和复合材料等。研究领域从固体力学扩展到流体力学、传热学、电磁学、声学等领域，由单一物理场的求解扩展到多物理场的耦合，结构尺寸从宏观扩展到微观。在工程分析中的作用已从分析和校核扩展到新产品设计。随着计算机的发展，应用基于有限元法的计算机辅助工程(CAE)的方法越来越普及，已成为飞机、高层建筑、大型桥梁、高速列车等大型结构设计的主流工具，特别是对一些目前还不能采用试验方法研究的微观结构性能的分析与预测，成为新材料研制的有效手段。可以预测，随着现代力学、计算数学和计算机技术等学科的发展，有限元法作为一个具有巩固理论基础和广泛应用效力的数值分析工具，必将在国民经济建设和科学技术发展中发挥更大的作用，其自身亦将得到进一步的发展和完善。
1.2有限元法的主要优点
有限元法能迅速成为现代工业与工程技术密不可分的一个组成部分，除了依赖于现代工业化技术发展需要的大环境之外，有限元法本身具有的许多优点也吸引了大量的理论研究人员和应用工程技术人员。它的主要优点是：
(1)应用范围广泛。有限元法已能成功地求解固体力学、流体力学、温度场、电磁场、声场、多场耦合等领域的各类线性、非线性问题。它几乎适应于求解所有的连续介质和场问题，目前已渗透到微观结构领域。
(2)软件功能强大。有限元软件已经成功地解决了许多领域的工程计算难题。与其他CAD软件的无缝连接及不断完善的前后处理功能，使有限元法的使用范围不断扩充。
(3)描述简单，便于推广。有限元法采用矩阵形式表示，使问题的描述简单化，使求解问题的方法规范化，便于编制计算机程序。
1.3有限元法在工程中的应用
有限元法在工程中得到了广泛的应用，主要应用范围体现在如下四个方面。
1.新产品设计
由有限元法设计产品，能缩短新产品的研制周期，减少成本，降低出错返工率；而仿真驱动产品研发，也将许多工程带到更高境界。
1990年10月，美国波音公司采用有限元软件对新型客机B777实现了完全数字化设计，并试飞成功。现在，基于有限元方法的CAE已成为飞机结构设计的主流工具。图11为飞机整机有限元网格。
图11飞机整机有限元网格
同样，在卫星结构设计过程中，不可避免地要根据各方面的要求不断修改尺寸和材料，优化卫星结构，而如何修改和修改的效果如何，都要进行有限元仿真计算；汽车产品研发初期，用有限元法对汽车零部件、总成、系统、整车进行模拟分析，可以及时发现产品设计中的隐患，优化结构，从而降低汽车制造和试验成本，使新产品早日投入市场，增强企业的竞争力；在金属成形领域，新产品设计前先进行模拟仿真，通过分析金属成形工艺和热处理工艺，对加工过程中材料流动、模具充填、成形载荷、缺陷形成等积累更多的知识，从而优化加工过程，提高产品成形质量。目前某些特殊用途的异形钢管就是模拟仿真后出现的新产品。
2.现有产品的改进与修复
对现有产品的改进设计包括结构、材料等方面的改进，使改进后的产品在满足强度、刚度、稳定性等要求下，在经济性、舒适性、轻量化、美观等方面得到改进；带缺陷的产品修复补强后，可以继续使用，变废为宝。
图12国家体育馆“鸟巢”有限元网格
“鸟巢”是在有限元软件平台上设计与优化的。有关专家在修改初步设计与施工图设计中，应用有限元软件对主桁架、桁架柱、次结构的布置进行了调整，结构抗震性能与节点构造得到改善，并通过采取一系列优化措施，有效地减小了结构用钢量，达到了控制工程造价的目的，取得了良好的技术经济效果。图12所示为国家体育馆“鸟巢”有限元网格。
目前土石坝已经向300米级高坝发展，基坑的支护问题、边坡稳定问题在土石坝改进设计时均应充分考虑，而这些工作都可由有限元法完成；汽车产品批量生产后，有限元分析主要解决汽车在使用过程中发现的质量问题，并提出改进方案，为汽车质量改进及优化提供简单而行之有效的方法；英国Newportpagnell的Tickford桥是一座世界上距今时间最久、最古老的铸铁公路桥，对该桥采用了铺贴复合材料片进行加固修复补强；带裂纹缺陷的液化石油气球罐对安全运行有重大影响，通过有限元法补强分析，可以找到经济高效地修复球罐裂纹并延长球罐使用年限的方法；在口腔生物力学研究中，种植固位覆盖义齿对牙齿进行修复补强主要采用有限元法。图13所示为双江口坝体的有限元网格，图14为带缺陷球罐的复合材料补强有限元网格。
图13双江口坝体有限元网格
图14带缺陷球罐的复合材料补强有限元网格
3.虚拟试验
采用有限元法进行虚拟试验，以找出对产品性能有重要影响的各种关键因素，为产品的改进提供重要参考；同时，也可节约大量时间，降低产品的研发成本。目前，虚拟试验可以将计算误差控制在10%以内，能够满足工程需要。
如何提高车身的抗碰撞能力，是汽车被动安全中需要解决的问题之一。过去美国福特汽车公司每开发一个新车型，都要用120辆车进行冲撞试验，约耗资6000万美元。现在利用有限元法进行汽车碰撞过程的模拟，以节省昂贵的实车碰撞试验经费，是国内外汽车公司普遍采用的一种方法。图15所示为汽车碰撞过程模拟试验有限元网格。
4.重大事故原因分析
1983年，北京一幢正在施工的高层建筑的大型脚手架坍塌，5人死亡，7人受伤；1940年,美国Tocoma悬索桥的垮塌事故，被记载为20世纪最严重的工程设计错误之一；2003年,美国哥伦比亚号航天飞机失事，外部燃料箱表面泡沫材料安装过程中存在的缺陷，是造成事故的罪魁祸首；2014年，浙江某厂蜡油加氢脱硫及柴油加氢精制联合装置中一台溶剂缓冲储罐发生超压破坏事故，罐底板中间外凸变形，周边底板被抬起，储罐整体向一侧严重倾斜，且大角焊缝被撕裂，有害介质大量外流，导致整个装置停工。通过对事故现场调查，结合有限元分析，找出事故发生的直接原因，提出事故安全预防措施。
小到原子分子，大到飞机桥梁，无论是整机、装配图还是零件，无论是固体、流体、气体还是生物体，均可由有限元法进行分析。图16所示为碳纳米管分子结构有限元网格，图17所示为烤瓷冠三维有限元网格，图18所示为船体外流场分析有限元网格。
图15汽车碰撞过程模拟试验有限元网格
图16碳纳米管分子结构有限元网格
图17烤瓷冠三维有限元网格
图18船体外流场分析有限元网格
1.4通用有限元软件简介
有限元软件是商品，也是沟通理论分析与工程实际的桥梁。许多大型工程项目就是依赖于有限元软件分析模拟而确定实施方案的，许多高水平的学术论文也都声明所用的是某某著名的软件。这些软件解决工程实际问题的能力和效率，在国际学术界达成了共识。本节就常用的几个有限元通用软件的情况作简单介绍。
1.4.1通用有限元软件的共同之处
有限元法的高度通用性与实用性导致了有限元通用程序的发展。50多年来，有限元通用软件的发展在数量和规模上是惊人的。一些通用有限元软件在我国的现代化建设中发挥了巨大的作用。这些通用有限元软件的共同之处可归纳为以下几点：
(1)功能强大。一般都可进行多种物理场分析，如结构分析、温度场分析、电磁场分析、流场分析、多场耦合分析等。
(2)具有丰富的材料库。可以处理多种材料，如金属、土壤、岩石、塑料、橡胶、木材、陶器、混凝土、复合材料等。
(3)具有多种自动网格划分技术，自动进行单元形态、求解精度检查及修正。
(4)具有强大的后处理及图像显示功能。
（5）具有与多种CAD系统直接连接的接口。
（6）具有良好的用户开发环境。
（7）具有良好的培训和维护能力。
（8）技术成熟，已推向市场多年，版本不断更新。
1.4.2几个通用有限元软件简介
有限元软件从20世纪70年代进入市场，不断分化和兼并，目前形成了以美国MSC、ANSYS、SIMULIA三个公司为代表的软件开发商。他们具有雄厚的技术实力和强劲的发展势头，已经占有世界有限元市场60%~70%的份额。下面仅对三个公司的代表软件作简要介绍。
1.MSC.Marc
MSC.Marc软件为美国MSC公司的产品。公司创建于1963年，总部设在美国洛杉矶，通过不断的重组和兼并，MSC公司已成为全球规模最大的有限元软件公司。Marc软件原为美国MARC公司的产品。MARC公司创建于1967年，它的创始人是美国著名的布朗大学教授、有限元分析的先驱者PedroMarcel。MARC公司致力于非线性有限元技术的研究、非线性有限元软件的开发、销售和售后服务。经过30多年的不懈努力，Marc软件得到了学术界和工业界的大力推崇和广泛应用，建立了它在全球非线性有限元软件行业的领导地位。1999年6月，美国MSC公司收购了MARC公司，相应地，将该软件更名为MSC.Marc软件。MSC.Marc软件的功能也在不断得到扩展。
MSC.Marc软件是功能齐全的高级非线性有限元软件，它具有先进的网格适应技术，强大的二次开发功能，优异的并行求解算法，稳定的求解技术，广泛的平台适用性，方便高效的用户界面，良好的接口技术，强大的分析功能，丰富的材料模型，丰富的单元类型。该软件是一个功能强大的有限元分析系统，提供了各种问题的解决方案。如非线性结构分析(包括非线性静力分析、非线性瞬态分析、非线性动力分析、非线性屈曲分析、刚塑性分析、黏塑性分析、弹塑性分析、黏弹性分析、超弹性分析、超塑性分析、周期对称结构分析、灵敏度和优化分析、超单元分析、接触分析)、失效和破坏分析(包括断裂分析、裂纹萌生与扩展、复合材料的分层、韧性金属损伤和橡胶软化失效、复合材料脱层分析、磨损分析)、传热过程分析(包括稳态/瞬态热传导分析、强迫对流传热分析、有接触传热的耦合分析)、多场耦合分析(包括静电场分析、静磁场分析、滑动轴承分析、流体分析、声场分析、热机耦合分析、流热固耦合分析、热电耦合分析、热电固耦合分析、磁热耦合分析、磁结构耦合分析、扩散应力耦合分析、压电分析、流体土壤耦合分析、电磁场耦合分析)、加工过程仿真(包括锻造、挤压、冲压、超塑、板材拉深、粉末成型、吹制、铸造、热处理、焊接、切削、复合材料固化等多种加工过程的仿真)、热烧蚀分析等。
2.MSC.NASTRAN
MSC.NASTRAN也是美国MSC公司的产品，它是1966年美国国家航空航天局(NASA)为了满足当时航空航天工业对结构分析的迫切需求，主持开发的大型应用有限元程序。1971年MSC公司对原始的NASTRAN做了大量改进，推出了自己的专利版本MSC.NASTRAN。MSC.NASTRAN能够有效解决各类大型复杂结构的强度、刚度、屈曲、模态、动力学、热力学、非线性、(噪)声学、流体结构耦合、气动弹性、超单元、惯性释放、设计敏度分析及结构优化等问题，是航空航天部门的法定结构分析软件。
3.ANSYS
ANSYS软件是美国ANSYS公司的产品，该公司成立于1970年，重点开发开放、灵活、对设计直接进行仿真的解决方案，提供从概念设计到最终测试产品研发全过程的统一平台；同时追求快速、高效和成本意识的产品开发。ANSYS公司和其全球网络的渠道合作伙伴为客户提供销售、培训和技术支持一体化服务。公司总部位于美国宾夕法尼亚州的匹兹堡，全球拥有60多个代理，在40多个国家销售产品。ANSYS公司于2006年收购了在流体仿真领域处于领导地位的美国Fluent公司；于2008年收购了在电路和电磁仿真领域处于领导地位的美国Ansoft公司。通过整合，ANSYS公司成为全球最大的仿真软件公司之一。ANSYS整个产品线包括结构分析(ANSYSMechanical)系列、流体动力学(ANSYSCFD(FLUENT/CFX))系列、电子设计(ANSYSANSOFT)系列以及ANSYSWorkbench和EKM等，其多场耦合分析功能博得了用户的钟爱。产品广泛应用于航空、航天、电子、车辆、船舶、交通、通信、建筑、电子、医疗、国防、石油、化工等众多行业。因其率先开发出微机版本，故发展了大批的有限元用户群。ANSYS公司在北京、上海、成都、深圳相继成立了办事处，构成了ANSYS在中国完整的市场、销售及售后服务体系。目前，中国100多所理工院校采用ANSYS软件进行有限元分析或者作为标准教学软件。
4.ABAQUS
ABAQUS软件是由美国SIMULIA公司(原ABAQUS公司)研究开发的完全商品化的工程有限元分析软件。ABAQUS公司成立于1978年，总部设在罗得岛州普罗维登斯市。ABAQUS软件可以解决金属、橡胶、高分子材料、复合材料、钢筋混凝土、可压缩超弹性泡沫材料以及土壤和岩石等材料的线性及非线性问题，可以解决结构、热传导、质量扩散、热电耦合分析、声学分析、岩土力学分析(流体渗透/应力耦合分析)及压电介质分析等问题。电子领域是ABAQUS软件的一个重要应用领域，主要模拟封装和电子器件跌落。另外，ABAQUS软件还是世界各大汽车厂商分析发动机中热固耦合和接触问题的标准软件。
1.5有限元法基本知识
1.5.1有限元法基本思想
有限元法是在连续体上直接进行近似计算的一种数值方法，其基本思想通过下面的例子来说明。图19简单说明了早期数学上求圆面积的近似方法。首先将连续的圆分割成一些三角形，求出每个三角形的面积，再将每个小三角形面积相加，即可得到圆面积的近似值。前面是“分”的过程，后面是“合”的过程。之所以要分，是因为三角形面积容易求得。这样简单的一分一合，就很容易求出圆面积的近似值。
图19圆面积的近似求法
上述例子体现了有限元法的基本思想，即“拆整为零，集零为整”。
“拆整为零”即“分”的过程，具体包括如下三步：
1.离散化
将连续的求解区域离散为有限个部分的集合体，并认为各部分只通过有限个点连接起来。例如，所求的连续体如图110(a)所示，可假想它由图110(b)所示许多小部分组成，这些规则或不规则的小部分称为单元(element)。单元之间只通过有限个点连接起来，如图110(c)所示，单元①与单元②只在1、2两点相连，这些连接点称为节点(node)。这一过程称有限元离散化过程。
图110将连续体假想为有限个单元的组合体
2.假定单元场函数
在每一个单元内假定近似场函数(位移函数或应力函数)，并将单元内的场函数由该单元各个节点的数值通过函数插值表示，这样，未知的场函数(或包括其导数)在单元内各个节点的数值就成为新的未知量(其个数称为自由度)，从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。
3.单元分析
对每个单元分析，求出单元的特性。
“集零为整”即“合”的过程，将单元的特性装配在一起得到离散体整体的特性，并利用数值计算方法得到整个求解域上场函数的近似值。
1.5.2有限元法分类
有限元法按基本未知量可分为三大类，即有限元位移法、有限元力法和有限元混合法。在有限元位移法中，选节点位移作为基本未知量；在有限元力法中，选节点力作为基本未知量；在有限元混合法中，一部分基本未知量为节点位移，另一部分基本未知量为节点力。有限元位移法计算过程的系统性、规律性强，特别适宜于编程求解。一般除板壳问题的有限元法应用一定量的混合法外，其余全部采用有限元位移法。所以《有限元原理与程序可视化设计》如不作特别声明，有限元法指的是有限元位移法。
有限元法按求解问题的类型分为两大类：线弹性有限元法和非线性有限元法。其中线弹性有限元法是非线性有限元法的基础。
1.线弹性有限元法
线弹性有限元法以理想弹性体为研究对象，所考虑的变形建立在小变形假设的基础上。具体讲，下面四条必须同时满足的问题为线弹性问题：
(1)材料的应力与应变呈线性关系，满足广义胡克定理。
(2)应变与位移的一阶导数呈线性关系。
(3)微元体的平衡方程是线性的。
(4)结构的边界条件是线性的。
线弹性有限元问题归结为求解线性方程组问题，所需时间较少。
线弹性有限元一般包括线弹性静力分析与线弹性动力分析两个主要内容。学习这些内容需具备材料力学、结构力学、弹性力学、振动力学、数值方法、矩阵代数、算法语言等方面的知识。
2.非线性有限元法
有限元法所求解的非线性问题可以分为如下三类：
(1)材料非线性问题。在线弹性问题的四个条件中，不满足第(1)条的称为材料非线性问题。
材料非线性问题中，材料的应力与应变呈非线性关系。在工程实际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性(包括分段线弹性)、弹塑性、黏塑性及蠕变等。
(2)几何非线性问题。在线弹性问题的四个条件中，不满足第(2)(3)条的称为几何非线性问题。
几何非线性由结构变形的大位移造成。一般分两类：一类叫小变形几何非线性问题，在这类问题中应变很小，但不能忽略高阶应变，所以它可以表述为结构在加载过程中不能忽略小应变的有限转动的弹性力学问题，如薄板的大挠度问题就属于小变形几何非线性问题；另一类叫有限变形(或大应变)几何非线性问题，在这类问题中，结构将产生很大的变形和位移，变形过程已经不可能直接用未受力时的位置和形态加以描述，平衡状态的几何位置也是未知的，而且必须给出应力、应变的新定义。由此可见，有限变形(或大应变)几何非线性问题的求解有别于小变形几何非线性问题，如橡胶部件形成过程与金属塑性加工过程均为有限变形几何非线性问题。
(3)边界非线性问题。在线弹性问题的四个条件中，不满足第(4)条的称为边界非线性问题。
……
前言/序言
有限元法从20世纪50年代中期发展至今，已成为工程实际中最有效、应用最广的一种数值方法，已在教学、科研及工程应用中普及使用，并取得了丰硕成果。2018年6月，“新时代全国高等学校本科教育工作会议”在四川大学召开，教育部党组书记、部长陈宝生在会议的讲话中明确指出：“要着力推进课程内容更新，将学科研究新进展、实践发展新经验、社会需求新变化及时纳入教材。”《有限元原理与程序可视化设计》中有限元建模技术、有限元可视化程序设计就是根据实践发展新经验、社会需求新变化纳入有限元教材中的新内容。目前尚未发现与本教材中有限元建模实例与有限元可视化程序设计方面类似的书籍。
有限元理论和有限元软件之间存在着巨大鸿沟，而有限元模型就是在这一鸿沟上架起的桥梁。利用有限元理论建立正确合理的有限元模型已成为衡量工程技术人员有限元应用水平的重要标志。没有正确的有限元模型，无法达到应用商用有限元软件解决工程实际问题的目的。在新工科背景下，掌握有限元建模技术对提高学生应用有限元方法解决工程实际问题的能力起到决定性的作用。
有限元程序设计作为有限元理论实现的一部分，一直作为有限元教材的重要内容，但到目前为止，有限元程序设计仍停留在数据文件时代，不能满足随时可以看到结果、程序与结果调整同步的可视化社会需求。可视化技术的发展与相应有限元商用软件极具诱惑的前后处理功能已为有限元程序设计提供很好的参考，推广可视化程序设计，对创新能力培养将起到积极作用。
《有限元原理与程序可视化设计》力求提供具有现代特色的教学内容。在教材的编写上，做到阐述简明扼要，深入浅出。在教材的内容体系上，综合考虑有限元方法的基本原理、建模技术、可视化程序设计方法，使学生在学习原理的基础上，一方面学会建模方法，为应用商用有限元软件架起桥梁，一方面学习可视化编程技术，为学生开发特定问题的可视化应用软件提供完整的操作示范。使学生在实践基础上深刻理解和掌握有限元原理，达到使用有限元软件与开发新软件解决工程实际问题的目的。
《有限元原理与程序可视化设计》结合编著者20多年来的教学经验及丰富的商用有限元软件应用经验，以近几年工程力学专业本科生使用的讲义为蓝本编写而成。在编写过程中，主要参考了梁清香、张根全编著的《有限元与MARC实现》（机械工业出版社，2003年1月）和梁清香主编的《有限元与MARC实现》第2版（机械工业出版社，2005年4月），同时还参阅了国内有关教材和网上图片，在此一并致谢。
《有限元原理与程序可视化设计》内容共3篇12章。第1章至第8章介绍有限元基本原理，循序渐进地阐述弹性问题、弹塑性问题、结构动力问题的有限元理论，使读者了解工程中常见结构静力分析与动力分析的有限元原理。第9章至第10章介绍有限元建模知识，并通过例题分析给出有限元模型图示。第11章至第12章介绍有限元可视化编程技术，并附例题的VB源程序与详细解读。第1章至第10章提供适当数量习题，配合教学使用。
《有限元原理与程序可视化设计》由梁清香主编。其中第1章、第2章、第4章、第5章、第6章、第9章、第10章由梁清香编著，第3章由贾有编著，第7章由张伟伟编著，第8章由陈慧琴编著，第11章、第12章由刘利亭编著，《有限元原理与程序可视化设计》由梁清香统稿审定。
《有限元原理与程序可视化设计》的编写工作得到太原科技大学工程力学2017山西省优势专业建设项目的资助，在此表示衷心感谢。
在《有限元原理与程序可视化设计》编写过程中得到多方面的关心和支持，北京理工大学宁建国教授、太原理工大学王志华教授对《有限元原理与程序可视化设计》提出了许多有益的建议，在此深表感谢。清华大学出版社有关工作人员对《有限元原理与程序可视化设计》的出版做了大量工作，谨此表示诚挚的谢意。
教材中有限元建模例题的分析与图示、有限元可视化程序设计都是首次尝试，难免有不尽如人意之处；限于编者水平，书中的疏漏与不妥之处也在所难免，欢迎读者指正。
编者2018年9月
