《薛定宇教授大讲堂（卷Ⅲ）：MATLAB线性代数运算》

内容简介

《薛定宇教授大讲堂（卷Ⅲ）：MATLAB线性代数运算》按照线性代数教材的编排方式，系统论述了基于MATLAB语言编程的方法来实现线性代数问题的求解。《薛定宇教授大讲堂（卷Ⅲ）：MATLAB线性代数运算》内容包括矩阵的输入方法、矩阵基本分析方法、矩阵基本变换与分解方法、矩阵方程的求解方法与矩阵任意函数的计算方法等。此外，书中还介绍了线性代数的诸多应用问题的建模与求解方法。

《薛定宇教授大讲堂（卷Ⅲ）：MATLAB线性代数运算》可以作为高等学校理工科各类专业的本科生与研究生学习计算机数学语言（MATLAB）的教材，也可以作为一般读者学习线性代数与矩阵分析的辅助教材——从另一个角度认识线性代数问题的求解方法，并可以作为查询线性代数与矩阵数学问题求解方法的工具书。

作者简介

薛定宇教授：分别在沈阳工业大学、东北大学和英gSussex大学获得学士（1985年）、硕士（1988年）和博士学位（1992年），1997年任东北大学信息学院教授。深耕于计算机在数学与自动控制学科的应用，主持了g家精品课程建设，并于1996年在清华大学出版社出版《控制系统计算机辅助设计——MATLAB与应用》，该教材被认为是g内MATLAB应用领域具有深远影响的一部图书，为MATLAB在g内高校教学与科研中的普及起到了巨大的作用。薛定宇教授先后被评为辽宁省教学名师、辽宁省优秀教师，获得g家级教学成果二等奖。其主讲的“控制系统仿真与CAD”课程被评为g家级精品课程、g家级精品资源共享课程；主讲的“现代科学运算——MATLAB语言与应用”课程被评为辽宁省精品资源共享课程，配套录制的全新慕课课程均上线于爱课程与中g慕课网站。

目录

目　录

CONTENTS

第1章线性代数简介·1

1.1矩阵与线性方程组1

1.1.1表格的矩阵表示1

1.1.2线性方程组的建立与求解3

1.2线性代数发展简介8

1.2.1线性代数数学理论8

1.2.2数值线性代数10本章习题12第2章矩阵的表示与基本运算13

2.1一般矩阵的输入方法13

2.2特殊矩阵的输入方法14

2.2.1零矩阵、幺矩阵及单位矩阵·15

2.2.2随机元素矩阵15

2.2.3Hankel矩阵·17

2.2.4对角元素矩阵18

2.2.5Hilbert矩阵及Hilbert逆矩阵20

2.2.6相伴矩阵·21

2.2.7Wilkinson矩阵·21

2.2.8Vandermonde矩阵22

2.2.9一些常用的测试矩阵23

2.3符号型矩阵的输入方法24

2.3.1特殊符号矩阵的输入方法24

2.3.2任意常数矩阵的输入24

2.3.3任意矩阵函数的输入25

2.4稀疏矩阵的输入·26

2.5矩阵的基本运算·29

2.5.1复数矩阵的处理29

·iv·薛定宇教授大讲堂（卷III）：MATLAB线性代数运算

2.5.2矩阵的转置与旋转30

2.5.3矩阵的代数运算31

2.5.4矩阵的Kronecker乘积与Kronecker和·36

2.6矩阵函数的微积分运算37

2.6.1矩阵函数的导数37

2.6.2矩阵函数的积分38

2.6.3向量函数的Jacobi矩阵39

2.6.4Hesse矩阵39本章习题40

第3章矩阵基本分析·43

3.1行列式·43

3.1.1行列式的定义与性质43

3.1.2低阶矩阵的行列式计算44

3.1.3行列式计算问题的MATLAB求解47

3.1.4任意阶特殊矩阵的行列式计算·50

3.1.5线性方程组的Cramer法则·51

3.1.6正矩阵与完全正矩阵52

3.2矩阵的简单分析·53

3.2.1矩阵的迹·54

3.2.2线性无关与矩阵的秩54

3.2.3矩阵的范数·56

3.2.4向量空间·58

3.3逆矩阵与广义逆矩阵59

3.3.1矩阵的逆矩阵59

3.3.2逆矩阵的导函数60

3.3.3MATLAB提供的矩阵求逆函数61

3.3.4简化的行阶梯型矩阵63

3.3.5矩阵的广义逆65

3.4特征多项式与特征值67

3.4.1矩阵的特征多项式67

3.4.2多项式方程的求根69

3.4.3一般矩阵的特征值与特征向量·70

3.4.4矩阵的广义特征向量问题73

3.4.5Gershgorin圆盘与对角占优矩阵·753.5矩阵多项式·76

3.5.1矩阵多项式的求解76

3.5.2矩阵的最小多项式78

3.5.3符号多项式与数值多项式的转换·78本章习题80

第4章矩阵的基本变换与分解83

4.1相似变换与正交矩阵83

4.1.1相似变换·83

4.1.2正交矩阵与正交基84

4.2初等行变换·85

4.2.1三种初等行变换方法86

4.2.2用初等行变换的方法求逆矩阵·88

4.2.3主元素方法求逆矩阵89

4.3矩阵的三角分解·90

4.3.1线性方程组的Gauss消去法·90

4.3.2一般矩阵的三角分解算法与实现·91

4.3.3MATLAB三角分解函数·92

4.4矩阵的Cholesky分解94

4.4.1对称矩阵的Cholesky分解94

4.4.2对称矩阵的二次型表示95

4.4.3正定矩阵与正规矩阵96

4.4.4非正定矩阵的Cholesky分解97

4.5相伴变换与Jordan变换98

4.5.1一般矩阵变换成相伴矩阵98

4.5.2矩阵的对角化99

4.5.3矩阵的Jordan变换·100

4.5.4复特征值矩阵的实Jordan分解101

4.5.5正定矩阵的同时对角化103

4.6奇异值分解·104

4.6.1奇异值与条件数104

4.6.2长方形矩阵的奇异值分解106

4.6.3基于奇异值分解的同时对角化·106

4.7Givens变换与Householder变换·107

4.7.1二维坐标的旋转变换107

4.7.2一般矩阵的Givens变换109

·vi·薛定宇教授大讲堂（卷III）：MATLAB线性代数运算

4.7.3Householder变换·111本章习题112

第5章矩阵方程求解·115

5.1线性方程组·115

5.1.1唯一解的求解116

5.1.2方程无穷解的求解与构造119

5.1.3矛盾方程的求解122

5.1.4线性方程解的几何解释122

5.2其他形式的简单线性方程组124

5.2.1方程XA=B的求解·124

5.2.2方程AXB=C的求解125

5.2.3基于Kronecker乘积的方程解法127

5.2.4多项方程AXB=C的求解127

5.3Lyapunov方程·128

5.3.1连续Lyapunov方程·128

5.3.2二阶Lyapunov方程的Kronecker乘积表示·130

5.3.3一般Lyapunov方程的解析解130

5.3.4Stein方程的求解·131

5.3.5离散Lyapunov方程·132

5.4Sylvester方程·133

5.4.1Sylvester方程的数学形式与数值解·133

5.4.2Sylvester方程的解析求解133

5.4.3含参数Sylvester方程的解析解136

5.4.4多项Sylvester方程的求解136

5.5非线性矩阵方程·137

5.5.1Riccati代数方程·137

5.5.2一般多解非线性矩阵方程的数值求解·138

5.5.3变形Riccati方程的求解142

5.5.4一般非线性矩阵方程的数值求解·143

5.6多项式方程的求解144

5.6.1多项式互质·144

5.6.2Diophantine多项式方程145

5.6.3伪多项式方程求根147本章习题148第6章矩阵函数·151

6.1矩阵元素的非线性运算152

6.1.1数据的取整与有理化运算152

6.1.2超越函数计算命令153

6.1.3向量的排序、最大值与最小值156

6.1.4数据的均值、方差与标准差·156

6.2矩阵指数函数计算157

6.2.1矩阵函数的定义与性质157

6.2.2矩阵指数函数的运算158

6.2.3基于Taylor幂级数的截断算法·158

6.2.4基于Cayley–Hamilton定理的计算160

6.2.5MATLAB的直接计算函数161

6.2.6基于Jordan变换的求解方法162

6.3矩阵的对数与平方根函数计算163

6.3.1矩阵的对数运算163

6.3.2矩阵的平方根运算164

6.4矩阵的三角函数运算165

6.4.1矩阵的三角函数运算165

6.4.2基于幂级数展开的矩阵三角函数计算·166

6.4.3矩阵三角函数的解析求解167

6.5一般矩阵函数的运算169

6.5.1幂零矩阵·169

6.5.2基于Jordan变换的矩阵函数运算170

6.5.3矩阵自定义函数的运算173

6.6矩阵的乘方运算·174

6.6.1基于Jordan变换的矩阵乘方运算174

6.6.2通用乘方函数的编写175

6.6.3基于z变换的矩阵乘方计算·176

6.6.4计算矩阵乘方kA·177本章习题178

第7章线性代数的应用180

7.1线性方程组的应用180

7.1.1电路网络分析180

7.1.2结构平衡的分析方法186

7.1.3化学反应方程式配平186

·viii·薛定宇教授大讲堂（卷III）：MATLAB线性代数运算

7.2线性控制系统中的应用188

7.2.1控制系统的模型转换189

7.2.2线性系统的定性分析190

7.2.3多变量系统的传输零点192

7.2.4线性微分方程的直接求解192

7.3数字图像处理应用简介193

7.3.1图像的读入与显示194

7.3.2矩阵的奇异值分解195

7.3.3图像几何尺寸变换与旋转196

7.3.4图像增强·198

7.4图论与应用·200

7.4.1有向图的描述201

7.4.2Dijkstra最短路径算法及实现·202

7.4.3控制系统方框图化简205

7.5差分方程求解·208

7.5.1一般差分方程的解析解方法·209

7.5.2线性时变差分方程的数值解方法·210

7.5.3线性时不变差分方程的解法·212

7.5.4一般非线性差分方程的数值解方法·213

7.5.5Markov链的仿真·214

7.6数据拟合与分析·215

7.6.1线性回归·216

7.6.2多项式拟合·217

7.6.3Chebyshev多项式219

7.6.4Bézier曲线221

7.6.5主成分方法·223本章习题225参考文献·231

MATLAB函数名索引·233术语索引·237

线性代数简介

前言/序言

前　言

PREFACE

科学运算问题是每个理工科学生和科技工作者在课程学习、科学研究与工程实践中常常会遇到的问题，不容回避。对于非纯数学专业的学生和研究者而言，从底层全面学习相关数学问题的求解方法并非一件简单的事情，也不易得出复杂问题的解。所以，利用当前最先进的计算机工具，高效、准确、创造性地求解科学运算问题是一种行之有效的方法，尤其能够满足理工科人士的需求。

作者曾试图在同一部著作中叙述各个数学分支典型问题的直接求解方法，通过清华大学出版社出版了《高等应用数学问题的MATLAB求解》。该书从2004年出版之后多次重印再版，并于2018年出版了第4版，还配套发布了全新的MOOC课程①，一直受到广泛的关注与欢迎。首次MOOC开课的选课人数接近14000人，教材内容也被数万篇期刊文章和学位论文引用。

从作者首次使用MATLAB语言算起，已经30余年了，通过相关领域的研究、思考与一线教学实践，积累了大量的实践经验资料。这些不可能在一部著作中全部介绍，所以与清华大学出版社策划与编写了这套“薛定宇教授大讲堂”系列著作，系统深入地介绍基于MATLAB语言与工具的科学运算问题的求解方法。

本系列著作不是原来版本的简单改版，通过十余年的经验和资料积累，全面贯穿“再认识”的思想写作此书，深度融合科学运算数学知识与基于MATLAB的直接求解方法与技巧，力图更好地诠释计算机工具在每个数学分支的作用，帮助读者以不同的思维与视角了解工程数学问题的求解方法，创造性地得出问题的解。

本系列著作卷I可以作为学习MATLAB入门知识的教材与参考书，也为读者深入学习与熟练掌握MATLAB语言编程技巧，深度理解科学运算领域MATLAB的应用奠定一个坚实的基础。后续每一卷试图对应一个数学专题或一门数学课程进行展开。整套系列著作的写作贯穿“计算思维”的思想，深度探讨该数学专题的问题求解方法。本系列著作既适合学完相应的数学课程之后，深入学习利用计算机

.MOOC网址：https://www.icourse163.org/learn/NEU-1002660001

·ii·薛定宇教授大讲堂（卷III）：MATLAB线性代数运算

工具的科学运算问题求解方法与技巧，也可作为相应数学课程同步学习的伴侣，在学习相应课程理论知识的同时，侧重于学习基于计算机的数学问题求解方法，从另一个角度观察、审视数学课程所学的内容，扩大知识面，更好地学习、理解并实践相应的数学课程。

《薛定宇教授大讲堂（卷Ⅲ）：MATLAB线性代数运算》是系列著作的卷III。《薛定宇教授大讲堂（卷Ⅲ）：MATLAB线性代数运算》试图以一个全新的角度，按照一般线性代数教程的方式介绍线性代数问题的求解，侧重利用MATLAB语言直接求解矩阵运算与线性代数的问题。首先介绍矩阵的输入方法，然后介绍矩阵基本分析方法、矩阵基本变换与分解方法，并介绍矩阵方程的求解方法与矩阵任意函数的计算方法等。《薛定宇教授大讲堂（卷Ⅲ）：MATLAB线性代数运算》还介绍了线性代数的诸多应用问题的建模与求解方法。

值此系列著作付梓之际，衷心感谢相濡以沫的妻子杨军教授，她数十年如一日的无私关怀是我坚持研究、教学与写作工作的巨大动力。

薛定宇2019年5月