《算法设计与分析（第4版）（21世纪大学本科计算机专业系列教材）》

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第5章回溯法回溯法有“通用解题法”之称。用它可以系统地搜索问题的所有解。回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的搜索算法。它在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根结点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任一结点时，先判断该结点是否包含问题的解。如果肯定不包含，则跳过对以该结点为根的子树的搜索，逐层向其祖先结点回溯；否则，进入该子树，继续按深度优先策略搜索。回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有子树都被搜索遍才结束。回溯法求问题的一个解时，只要搜索到问题的一个解就可结束。这种以深度优先方式系统搜索问题解的算法称为回溯法，它适用于求解组合数较大的问题。
5.1回溯法的算法框架[*4/5]5.1.1问题的解空间用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间。问题的解空间至少应包含问题的一个(最优)解。例如，对于有n种可选择物品的01背包问题，其解空间由长度为n的01向量组成。该解空间包含对变量的所有01赋值。当n=3时，其解空间是：
{(0,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)，(1,0,0)，(0,1,1)，(1,0,1)，(1,1,0)，(1,1,1)}
定义了问题的解空间后，还应将解空间很好地组织起来，使得能用回溯法方便地搜索整个解空间。通常将解空间组织成树或图的形式。
例如，对于n=3时的01背包问题，可用完全二叉树表示其解空间，如图51所示。
图5101背包问题的解空间树
解空间树的第i层到第i+1层边上的标号给出了变量的值。从树根到叶的任一路径表示解空间中的一个元素。例如，从根结点到结点H的路径相应于解空间中元素(1,1,1)。5.1.2回溯法的基本思想
确定了解空间的组织结构后，回溯法从开始结点(根结点)出发，以深度优先方式搜索整个解空间。这个开始结点成为活结点，同时也成为当前的扩展结点。在当前扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。这个新结点成为新的活结点，并成为当前扩展结点。如果在当前扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。此时，应往回移动(回溯)至最近的活结点处，并使这个活结点成为当前扩展结点。回溯法以这种工作方式递归地在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已无活结点时为止。
例如，对于n=3时的01背包问题，考虑下面的具体实例：w=［16,15,15］，p=［45,25,25］，c=30。从图51的根结点开始搜索解空间。开始时，根结点是唯一的活结点，也是当前扩展结点。在这个扩展结点处，可以沿纵深方向移至结点B或结点C。假设选择先移至结点B。此时，结点A和结点B是活结点，结点B成为当前扩展结点。由于选取了w1，故在结点B处剩余背包容量是r=14，获取的价值为45。从结点B处，可以移至结点D或E。由于移至结点D至少需要w2=15的背包容量，而现在仅有的背包容量是r=14，故移至结点D导致不可行解。搜索至结点E不需要背包容量，因而是可行的。从而选择移至结点E。此时，E成为新的扩展结点，结点A，B和E是活结点。在结点E处，r=14，获取的价值为45。从结点E处，可以向纵深移至结点J或K。移至结点J导致不可行解，而移向结点K是可行的，于是移向结点K，它成为新的扩展结点。由于结点K是叶结点，故得到一个可行解。这个解相应的价值为45。xi的取值由根结点到叶结点K的路径唯一确定，即x=(1,0,0)。由于在结点K处已不能再向纵深扩展，所以结点K成为死结点。返回到结点E处。此时在结点E处也没有可扩展的结点，它也成为死结点。
回溯法第5章算法设计与分析(第4版)接下来又返回到结点B处。结点B同样也成为死结点，从而结点A再次成为当前扩展结点。结点A还可继续扩展，从而到达结点C。此时，r=30，获取的价值为0。从结点C可移向结点F或G。假设移至结点F，它成为新的扩展结点。结点A，C和F是活结点。在结点F处，r=15，获取的价值为25。从结点F，向纵深移至结点L处，此时，r=0，获取的价值为50。由于L是叶结点，而且是迄今为止找到的获取价值最高的可行解，因此记录这个可行解。结点L不可扩展，又返回到结点F处。按此方式继续搜索，可搜索遍整个解空间。搜索结束后找到的最好解是相应01背包问题的最优解。
再看一个用回溯法解旅行售货员问题的例子。
旅行售货员问题的提法是：某售货员要到若干城市去推销商品，已知各城市之间的路程(或旅费)。他要选定一条从驻地出发，经过每个城市一次，最后回到驻地的路线，使总的路程(或总旅费)最短（或最小）。
问题刚提出时，不少人都认为这个问题很简单。后来，在实践中才逐步认识到，这个问题只是叙述简单，易于理解，而其计算复杂性却是问题输入规模的指数函数，属于相当难解的问题之一。事实上，它是NP完全问题。这个问题可以用图论语言形式描述。
设G=(V,E)是一个带权图。图中各边的费用（权）为正数。图的一条周游路线是包括V中的每个顶点在内的一条回路。周游路线的费用是这条路线上所有边的费用之和。旅行售货员问题要在图G中找出费用最小的周游路线。
图52是一个4顶点无向带权图。顶点序列1,2,4,3,1；1,3,2,4,1和1,4,3,2,1是该图中3条不同的周游路线。
旅行售货员问题的解空间可以组织成一棵树，从树的根结点到任一叶结点的路径定义了图G的一条周游路线。图53是当n=4时解空间的示例。其中，从根结点A到叶结点L的路径上边的标号组成一条周游路线1，2，3，4，1。从根结点到叶结点O的路径表示周游路线1，3，4，2，1。图G的每一条周游路线都恰好对应于解空间树中一条从根结点到叶结点的路径。因此，解空间树中叶结点个数为(n-1)!。

前言/序言

21世纪大学本科计算机专业系列教材编委会
主任：李晓明副主任：蒋宗礼卢先和委员：（按姓氏笔画为序）
马华东马殿富王志英王晓东宁洪
刘辰孙茂松李仁发李文新杨波
吴朝晖何炎祥宋方敏张莉金海
周兴社孟祥旭袁晓洁钱乐秋黄国兴
曾明廖明宏秘书：张瑞庆



《算法设计与分析（第4版）（21世纪大学本科计算机专业系列教材）》责任编委：宋方敏

前言FOREWORD
以最低的成本、最快的速度、最好的质量开发出适合各种应用需求的软件，必须遵循软件工程的原则，设计出高效率的程序。一个高效的程序不仅需要编程技巧，更需要合理的数据组织和清晰高效的算法。这正是计算机科学领域里数据结构与算法设计所研究的主要内容。一些著名的计算机科学家在有关计算机科学教育的论述中提出，计算机科学是一种创造性思维活动，其教育必须面向设计。计算机算法设计与分析正是一门面向设计，且处于计算机科学与技术学科核心地位的教育课程。通过对计算机算法系统的学习与研究，理解和掌握算法设计的主要方法，培养对算法的计算复杂性进行正确分析的能力，为独立地设计算法和对给定算法进行复杂性分析奠定坚实的理论基础，对从事计算机系统结构、系统软件和应用软件研究与开发的科技工作者是非常重要和必不可少的。为了适应我国21世纪计算机人才培养的需要，结合我国高等学校教育工作的现状，立足培养学生能跟上国际计算机科学技术的发展水平，更新教学内容和教学方法，《算法设计与分析（第4版）（21世纪大学本科计算机专业系列教材）》以算法设计策略为知识单元，系统地介绍计算机算法的设计方法与分析技巧，以期为计算机科学与技术学科的学生提供一个广泛而坚实的计算机算法基础知识。
《算法设计与分析（第4版）（21世纪大学本科计算机专业系列教材）》共分11章。在第１章中首先介绍算法的基本概念，接着简要阐述算法的计算复杂性和算法的描述，然后围绕设计算法常用的基本设计策略组织第２章至第10章的内容。第2章介绍递归与分治策略，这是设计有效算法最常用的策略，是必须掌握的方法。第3章是动态规划算法，以具体实例详述动态规划算法的设计思想、适用性以及算法的设计要点。第4章介绍贪心算法，这也是一种重要的算法设计策略，它与动态规划算法的设计思想有一定的联系，但其效率更高。按贪心算法设计出的许多算法能导致最优解，其中有许多典型问题和典型算法可供学习和使用。第５章和第６章分别介绍回溯法和分支限界法，这两章所介绍的算法适合处理难解问题，其解题的思想各具特色，值得学习和掌握。第７章介绍概率算法，对许多难解问题提供高效的解决途径，是有很高实用价值的算法设计策略。第８章介绍NP完全性理论和解NP难问题的近似算法。首先介绍计算模型、确定性和非确定性图灵机，然后进一步深入介绍NP完全性理论，最后介绍解NP难问题的近似算法，这是当前计算机算法领域的热门研究课题，具有很高的实用价值。第9章介绍有关串和序列的高效算法。第10章通过实例介绍算法设计中常用的算法优化策略。最后，在第11章介绍算法设计中较新的研究领域——在线算法设计。
在《算法设计与分析（第4版）（21世纪大学本科计算机专业系列教材）》各章的论述中，首先介绍一种算法设计策略的基本思想，然后从解决计算机科学与应用中出现的实际问题入手，由简到繁地描述几个经典的精巧算法，同时对每个算法所需要的时间和空间进行分析。这样使读者既能学到一些常用的精巧算法，又能通过对算法设计策略的反复应用，牢固掌握这些算法设计的基本策略，以期收到融会贯通之效。在为各种算法设计策略选择用于展示其设计思想与技巧的具体应用问题时，《算法设计与分析（第4版）（21世纪大学本科计算机专业系列教材）》有意重复选择某些经典问题，使读者能深刻地体会到一个问题可以用多种设计策略求解。同时，通过对解同一问题的不同算法的比较，更容易体会到每一个具体算法的设计要点。随着《算法设计与分析（第4版）（21世纪大学本科计算机专业系列教材）》内容的逐步展开，读者也将进一步感受到综合应用多种设计策略可以更有效地解决问题。
《算法设计与分析（第4版）（21世纪大学本科计算机专业系列教材）》采用面向对象的Java语言作为表述手段，在保持Java优点的同时，尽量使算法的描述简明、清晰。
为了便于读者加深对知识的理解，各章配有难易适当的习题，以适应不同程度读者练习的需要。
在《算法设计与分析（第4版）（21世纪大学本科计算机专业系列教材）》的编写过程中，得到教育部高等学校计算机类专业教学指导委员会的关心和支持。福州大学“211工程”计算机与信息工程重点学科实验室和福建工程学院为《算法设计与分析（第4版）（21世纪大学本科计算机专业系列教材）》的写作提供了优良的设备与工作环境。清华大学出版社负责《算法设计与分析（第4版）（21世纪大学本科计算机专业系列教材）》编辑出版工作的全体人员为《算法设计与分析（第4版）（21世纪大学本科计算机专业系列教材）》的出版付出了大量辛勤劳动，他们认真细致、一丝不苟的工作精神保证了《算法设计与分析（第4版）（21世纪大学本科计算机专业系列教材）》的出版质量。南京大学宋方敏教授和福州大学傅清祥教授在百忙中认真审阅了《算法设计与分析（第4版）（21世纪大学本科计算机专业系列教材）》，提出了许多宝贵的改进意见。在此，谨向每一位曾经关心和支持《算法设计与分析（第4版）（21世纪大学本科计算机专业系列教材）》编写工作的各方面人士表示衷心的谢意！
由于作者的知识和写作水平有限，书稿虽几经修改，仍难免存在缺点。热忱欢迎同行专家和读者惠予批评指正，使《算法设计与分析（第4版）（21世纪大学本科计算机专业系列教材）》在使用过程中不断改进，日臻完善。作者2018年6月前言算法设计与分析(第4版)