编辑推荐

　　将知识的细致性和系统性通过讲的方式得以落实。所谓知识的细致性是指对概念和定理的多角度分析和讲解，使之细化，并在例题和习题中将这些细化的内容展现出来，实现各个知识点的突破。所谓知识的系统性是指将涉及多个知识点的综合题目归纳为一些专题，对各个专题的解题方法和设计的技巧进行剥丝抽茧式的分析和讲解，实现各个知识点间线的突破。

内容简介

　　《线性代数辅导讲义》章节安排与“线性代数”普通教科书中的章节安排基本平行。书中每章的各节有内容要点与评注、典型例题以及习题；各章都设有专题讨论，每个专题以典型例题解析的方式阐述了围绕该专题的解题方法与技巧，每章末附有补充题，是在前面各专题的引领下，对知识点融会贯通、综合运用的体现，它包含客观题和主观题，客观题的设置意在考查对该章知识点全面而深入的理解，主观题的设置意在考查对该章知识点的综合运用能力与掌握。对于典型例题的讲解处理得非常细致，试图营造一对一辅导的氛围，以帮助读者理解和掌握。对于专题的处理，力图理清知识点之间的脉络与联系，实现对知识的系统理解。

　　《线性代数辅导讲义》可作为学生学习“线性代数”课程时的同步学习辅导材料，也可作为考研复习的辅导教材。


目录

第1章行列式1
1.1二阶、三阶行列式1
1.内容要点与评注1
2.典型例题3
习题114
1.2n元排列5
1.内容要点与评注5
2.典型例题5
习题128
1.3n阶行列式的定义8
1.内容要点与评注9
2.典型例题10
习题1312
1.4行列式的性质13
1.内容要点与评注13
2.典型例题14
习题1418
1.5行列式按一行（列）展开20
1.内容要点与评注20
2.典型例题22
习题1527
1.6行列式按k行(列)展开28
1.内容要点与评注28
2.典型例题30
习题1631
1.7克莱姆法则32
1.内容要点与评注32
2.典型例题34
习题1735
1.8数域35
1.内容要点与评注35
2.典型例题36
习题1837
1.9专题讨论37
1.利用数学归纳法和递推法计算(或证明)行列式37
2.关于行列式计算方法的综合运用40
习题1946
补充题147

目录目录第2章线性方程组52
2.1线性方程组解的情况及其判别52
1.内容要点与评注52
2.典型例题55
习题2160
2.2n维向量空间60
1.内容要点与评注61
2.典型例题63
习题2265
2.3线性相关与线性无关的向量组66
1.内容要点与评注66
2.典型例题69
习题2373
2.4向量组的秩74
1.内容要点与评注74
2.典型例题76
习题2479
2.5矩阵的秩79
1.内容要点与评注80
2.典型例题82
习题2586
2.6线性方程组有解的充分必要条件87
1.内容要点与评注87
2.典型例题88
习题2691
2.7齐次线性方程组解集的结构91
1.内容要点与评注91
2.典型例题94
习题2798
2.8非齐次线性方程组解集的结构99
1.内容要点与评注99
2.典型例题101
习题28106
2.9专题讨论107
1.利用向量间的线性相关性求解线性方程组107
2.关于公共解109
3.n元线性方程组与n阶行列式111
习题29113
补充题2114

第3章矩阵及其运算120
3.1矩阵的运算120
1.内容要点与评注120
2.典型例题124
习题31128
3.2几种特殊矩阵128
1.内容要点与评注129
2.典型例题133
习题32134
3.3可逆矩阵134
1.内容要点与评注134
2.典型例题138
习题33143
3.4矩阵的分块143
1.内容要点与评注143
2.典型例题152
习题34157
3.5矩阵的相抵157
1.内容要点与评注157
2.典型例题158
习题35159
3.6专题讨论160
1.利用线性方程组求解矩阵方程160
2.利用矩阵间的关系求解线性方程组163
3.利用向量组的线性相关性讨论矩阵方程164
4.利用矩阵的结构特点求解矩阵方程164
习题36165
补充题3166

第4章线性空间172
4.1线性空间的结构172
1.内容要点与评注172
2.典型例题177
习题41184
4.2线性子空间185
1.内容要点与评注185
2.典型例题189
习题42194
4.3正交矩阵、欧几里得空间195
1.内容要点与评注195
2.典型例题198
习题43200
4.4专题讨论201
1.齐次线性方程组及其解空间201
2.有限维子空间的直和202
3.正交矩阵及其元素202
4.齐次线性方程组的解向量及其正交性203
习题44204
补充题4205

第5章特征值与特征向量·矩阵的对角化1.内容要点与评注209
2.典型例题210
习题51211
5.2矩阵的特征值与特征向量211
1.内容要点与评注211
2.典型例题216
习题52220
5.3矩阵可对角化的条件221
1.内容要点与评注221
2.典型例题224
习题53230
5.4实对称矩阵的对角化230
1.内容要点与评注230
2.典型例题232
习题54239
5.5专题讨论239
1.特征值、特征向量与线性方程组的解239
2.一类特殊矩阵的对角化241
习题55243
补充题5244

第6章二次型·矩阵的合同249
6.1二次型和它的标准形249
1.内容要点与评注249
2.典型例题253
习题61260
6.2实二次型的规范形260
1.内容要点与评注260
2.典型例题262
习题62265
6.3正定二次型与正定矩阵266
1.内容要点与评注266
2.典型例题268
习题63270
6.4专题讨论271
1.利用正交替换讨论二次型的最值问题271
2.两个n阶正定矩阵乘积阵的正定性273
3.关于正定矩阵的分解274
习题64275
补充题6276

习题答案与提示281
第1章行列式281
第2章线性方程组290
第3章矩阵及其运算306
第4章线性空间317
第5章特征值与特征向量·矩阵的对角化324
第6章二次型·矩阵的合同337

参考文献355

精彩书摘

　　第3章矩阵及其运算矩阵是一张表，以表格的形式呈现数据更能一目了然.矩阵在讨论线性方程组解的理论中发挥着重要的作用,因此有必要进一步研究矩阵的运算.　　3.1矩阵的运算　　1.内容要点与评注　　数域F上两个矩阵称为同型，如果它们的行数、列数分别相等.　　定义1数域F上两个矩阵A=(aij),B=(bij)称为相等，如果它们同型，且所有对应元素满足aij=bij,i=1,2,…,m,j=1,2,…,n，其中m,n分别是同型矩阵A,B的行数、列数.　　定义2设数域F上同型矩阵A=(aij)m×n,B=(bij)m×n，令矩阵C=(aij+bij)m×n，则称C是A与B的和，记作C=A+B.　　注只有同型矩阵才可以相加，和阵A+B仍是与A,B同型的矩阵.　　定义3设数域F上矩阵A=(aij)m×n,k∈F，令矩阵C=(kaij)m×n，则称C为k与A的数量乘积，记作C=kA.　　注数量乘法并非是用数去乘矩阵的某一行或某一列，而是用数去乘矩阵的每一行(列).　　设数域F上矩阵A=(aij)m×n，称矩阵(－aij)m×n为A的负矩阵，记作－A，即－A=(－aij)m×n.　　设数域F上同型矩阵A=(aij)m×n,B=(bij)m×n，则A－B=A+(－B).　　容易验证，矩阵的加法和数量乘法满足类似于n维向量空间的加法和数量乘法所满足的8条运算法则：对于数域F上任意m×n矩阵A,B,C，任意数k,l∈F，有　　（1）A+B=B+A(加法交换律)；　　（2）(A+B)+C=A+(B+C)(加法结合律)；　　（3）A+0=0+A=A，其中0是与A同型的零矩阵；　　（4）A+(－A)=(－A)+A=0，其中－A是A的负矩阵；　　（5）1·A=A；　　（6）(kl)A=k(lA)；　　（7）(k+l)A=kA+lA；　　（8）k(A+B)=kA+kB.第3章矩阵及其运算3.1矩阵的运算定义4设数域F上矩阵A=(aij)m×s,B=(bij)s×n，令矩阵C=(cij)m×n，其中cij=ai1b1j+ai2b2j+…+aisbsj,i=1,2,…,m,j=1,2,…,n，则称C为A与B的乘积，记作C=AB，其中cij称为矩阵C的(i,j)元.　　注　　（1）左阵的列数必须等于右阵的行数时两个矩阵才可以相乘；　　（2）乘积阵的(i,j)元等于左阵的第i行与右阵的第j列对应元素的乘积之和；　　（3）乘积阵的行数取左阵的行数，乘积阵的列数取右阵的列数.　　矩阵乘法满足如下运算法则：对于数域F上任意矩阵Am×s,Bs×t,Ct×n,Ts×t，任意数k,l∈F，有　　（1）(AB)C=A(BC)(乘法结合律)；　　（2）A(B+T)=AB+AT(乘法对加法的左分配律)；　　（3）(B+T)C=BC+TC(乘法对加法的右分配律)；　　（4）k(AB)=(kA)B=A(kB).　　注　　（1）矩阵的乘法不满足交换律：一般地，TP≠PT，其中P是t×s矩阵.　　（2）矩阵的乘法不满足消去律：一般地，　　若AB=0且A≠0B=0；若AB=AT且A≠0B=T.　　……

前言/序言

　　学生们要学好线性代数，首先必须要弄清概念、理解定理；其次要掌握分析问题和解决问题的方法，而要实现这两点，最好的途径之一就是研读例题和演练习题，因此要学好线性代数，就必须要演练一定数量的习题。

　　在课堂教学中，课程的讲授是按知识的逻辑顺序展开的，习题则是按章或节编排的，学生们所受到的解题训练是单一的、不完善的，课堂教学的局限之一是缺乏对融会贯通的综合解题能力的训练与培养，再加上受教学时数的限制，许多解题方法与技巧未能在课堂上讲解与演练，当然更谈不上使学生系统掌握这些方法与技巧。

　　一些基础课程有开设习题课的做法，这对于学生的学习和理解能力的培养和训练是非常有帮助的。但由于学时和助课人员短缺方面的问题，许多学校取消或削减基础课的习题课学时。

　　本辅导讲义试图为改善上述各点做出努力。具体的做法是将知识的细致性和系统性通过讲的方式得以落实。所谓知识的细致性是指对概念和定理的多角度分析和讲解，使之细化，并在例题和习题中将这些细化的内容展现出来，实现各个知识点的突破。所谓知识的系统性是指将涉及多个知识点的综合题目归纳为一些专题，对各个专题的解题方法和涉及的技巧进行剥丝抽茧式的分析和讲解，实现各个知识点间线的突破。讲是一个交互的过程，通过交互过程来达成讲解和理解的基点。这在书中是不好实现的，为此，我根据以往辅导学生时的经验，将问题细化，将理解的梯度细化，减少读者在阅读和理解《线性代数辅导讲义》内容过程中的障碍或阻力，努力营造出一对一辅导时的细致氛围。这也是书名中“辅导讲义”的一种体现。

　　《线性代数辅导讲义》内容的展开与普通教科书基本平行，每章各节有内容要点与评注、典型例题以及习题，各章专门设立专题讨论一节，每个专题以典型例题解析的方式阐述了围绕该专题的解题方法与技巧。每章末附有补充题，是在前面各专题的引领下，对知识点融会贯通、综合运用的体现。它包含客观题和主观题，客观题的设置意在考查对该章知识点全面而深入的理解，主观题的设置意在考查对该章知识点的综合分析能力的领会与掌握。

　　《线性代数辅导讲义》包含了175道例题和446道习题。这些题目内容全面，类型多样，涵盖了线性代数教学大纲的全部内容，其中不少例题题型新颖、解法精巧，有些例题选自历届全国硕士研究生入学统一考试数学试题，这些题目都有中等或中等以上的难度。对于例题，大多先给出“分析”，引出解决问题的思路，然后在分析的基础上给出详细的解答过程，其间注重各个步骤的理论依据，努力做到知其然还要知其所以然，细化概念和定理在解决问题过程中的具体体现。之后，将一些要点通过“注”“评”“议”的方式将题目的要点提炼出来。一些题目还配以多种解题方法，以帮助读者从多个角度比较与归纳解题方法与技巧。对于习题，给出了答案和比较具体的提示。

　　《线性代数辅导讲义》的一个特色是对大多数例题都配以“分析”“注”“评”和“议”，其中：

　　分析——意在强调解题思路；

　　注——意在强调求解过程中的关键点和重要环节；

　　评——意在评述本例的技巧、方法和结论；

　　前言前言议——意在对本例结论和方法的延伸与拓展。

　　《线性代数辅导讲义》的另一个特色是将知识点分专题(37个)展开，以突出对知识点及解题方法与技巧作系统而深入的阐述，同时对一般教材不予证明的结论等补充了证明。

　　初学者可以把《线性代数辅导讲义》作为教辅书与课堂教学同步使用，以帮助弄清概念、理解定理，掌握解题方法与技巧。进一步，《线性代数辅导讲义》提供的丰富材料将帮助学习者在期末总复习或备考硕士研究生时，作全面而深入的总结性复习或专题性研究。

　　《线性代数辅导讲义》是笔者多年来从事线性代数教学经验的积累与总结。

　　感谢对外经济贸易大学，是这片沃土滋养了这枚果实；感谢清华大学出版社刘颖老师；感谢书末参考文献所有的专家们，他们的著作为我的编写工作带来了启发与指导。

　　历时三年，数度修改，完成此稿，自知错误和不当之处在所难免，恳请专家与读者不吝赐教，万分感激。

　　作者2016年10月于对外经济贸易大学


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