内容简介

　　《信息安全数学基础》系统地介绍了信息安全理论与技术所涉及的数论、代数、椭圆曲线等数学理论基础。《信息安全数学基础》共分为9章：第1章是预备知识，介绍了现代密码学涉及的数学基础；第2章至第5章是数论基础，包括整除、同余、次数与原根、二次剩余和素数检验以及整数分解等内容；第6章至第8章是代数基础，包括群、环、域的概念及其应用等内容；第9章是椭圆曲线，包括仿射空间和射影空间、椭圆曲线的基本性质、椭圆曲线上的离散对数等内容。书中每章末都配有适量习题，以供学生学习和复习巩固书中所学内容。

目录

?前言
教学建议
第1章　预备知识1
1.1　集合1
1.2　关系8
1.3　函数17
1.4　映射和势22
1.5　拓扑空间25
第2章　整除31
2.1　整除与带余除法31
2.2　最大公因子与辗转相除法35
2.3　算术基本定理43
*2.4　完全数、梅森素数和费马素数47
第3章　同余51
3.1　同余的概念和性质51
3.2　剩余类和剩余系55
3.3　欧拉定理和费马小定理59
3.4　扩展欧几里得算法和威尔逊定理64
3.5　线性同余方程68
3.6　中国剩余定理与同余方程组71
*3.7　高次同余方程81
第4章　原根与指数88
4.1　次数88
4.2　原根94
4.3　指数与高次剩余103
第5章二次剩余109
5.1　二次剩余的概念和性质109
5.2　勒让德符号与二次互反律113
5.3　雅可比符号124
第6章群129
6.1　群129
6.2　子群133
6.3　循环群136
6.4　置换群140
6.5　陪集与商群145
6.6　同态和同构150
第7章　环156
7.1　环156
7.2　理想和商环162
7.3　几类重要的环168
7.4　素理想和极大理想174
第8章　域178
8.1　域上的多项式178
8.2　域的代数扩张183
8.3　分裂域与自同构188
8.4　伽罗瓦理论初步194
8.5　有限域198
第9章　椭圆曲线203
9.1　仿射空间与射影空间203
*9.2　代数曲线210
9.3　Weierstrass方程与椭圆曲线214
9.4　椭圆曲线上的群结构221
9.5　有限域上的椭圆曲线227
9.6　椭圆曲线上的离散对数232
索引234
参考文献239

前言/序言

　　计算机和网络技术的飞速发展和广泛应用，极大地促进了社会的发展，也彻底改变了人们的生活和工作方式．与此同时，网络与信息安全问题也更多地受到关注，网络空间安全理论与技术已经成为当前最为重要的研究领域之一，网络空间安全专门人才的培养受到了社会空前的重视．“信息安全数学基础”是信息安全本科专业的基础课之一，对网络空间安全理论与技术（特别是网络空间安全的核心技术——密码技术）的深入学习具有重要的意义．《信息安全数学基础》是在南开大学信息安全专业“信息安全数学基础”课程授课讲义的基础上整理而成的．《信息安全数学基础》分为4部分，共包括9章内容：
　　第一部分：预备知识（第1章），介绍书中后续章节所涉及的基本概念和基础知识，包括集合、关系、函数、映射与势以及拓扑空间等．第二部分：数论基础（第2至5章），介绍数论的基本内容，包括整除（整数的因子分解）、同余、原根与指数、二次剩余以及数论的应用等内容．第三部分：抽象代数基础（第6至8章），分别介绍群、环、域的概念和知识，以及初等伽罗瓦理论和有限域理论．第四部分：椭圆曲线（第9章），介绍椭圆曲线的算术理论，包括仿射空间和射影空间、Weierstrass方程与椭圆曲线、椭圆曲线上的群结构、有限域上的椭圆曲线和椭圆曲线上的离散对数等内容．书中每节末都配有适量的习题，供学生在复习和巩固书中所学内容时使用．习题包括A、B两组：A组主要用于巩固学生在课堂上所学的内容和知识，B组主要用于拓展学生的知识和技能．《信息安全数学基础》依据《高等学校信息安全专业指导性专业规范》（清华大学出版社，2014）中关于“信息安全数学基础”的相关教学要求选取内容，并将编者多年积累的实际教学经验融入其中，力求知识系统化，能较好地覆盖网络空间安全领域所涉及的数学基础知识．书中所涉及的基础知识都进行了介绍，其中的数学结论都给出了详细的证明；书中所配的习题着力于帮助学生巩固所学的内容和拓展能力．《信息安全数学基础》适合高等学校信息安全、计算机科学技术和通信工程等专业本科生和研究生使用，也可供相关领域的科研人员和技术人员参考．《信息安全数学基础》由贾春福、钟安鸣和杨骏编写．高敏芬老师、李瑞琪、梁爽、吕童童、田美琦、程晓阳和郑万通等参与了书稿的阅读和校对．由于时间仓促，书中难免有疏漏和不当之处，敬请读者批评指正．编者2016年10月于南开园

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